Vous connaissez peut-être ce moment de la fameuse histoire de St Exupéry. Dans Le Petit Prince, notre héros rencontre un allumeur de réverbères sur une minuscule planète. Fidèle à sa consigne, ce personnage dévoué doit allumer son réverbère au coucher du soleil et l'éteindre à son lever. Une tâche qui était autrefois simple, car sa planète tournait à un rythme raisonnable avec des journées et des nuits d'une durée normale. Mais au fil du temps, la rotation de sa planète s'est accélérée, rendant les jours et les nuits de plus en plus courts, transformant sa mission en un ballet frénétique d'allumage et d'extinction.
Appellons "d" la variable qui décide du temps en seconde d'une nuit dans un monde où les nuits et les jours font la même durée. On a donc un simple lampadaire qui clignote toutes les d secondes (sachant qu'on commence la nuit, le lampadaire commence allumé):
Maintenant ajoutons quelques petites choses à notre lampadaire. Tout d'abord, appelons T la variable qui comptera le temps. Si on fait la division euclidienne de T par d, on aura le nombre de nuits et de jours qui sont arrivés jusqu'à lors, car T représente le temps total et d la durée d'un jour. On appelle ce nombre I. Sachant aussi que l'on commence avec le lampadaire allumé et qu'il s'allume et s'éteint au contraire du jour, on sait donc que si I est pair alors le lampadaire est allumé et si I est impair il est éteint.
Maintenant pour finir nous pouvons faire approcher d de 0 pour voir ce qui arrive. Vous pouvez essayer, je vous conseille de vous arrêter à 0.01, l'ordinateur aura du mal à visualiser sinon:
Essayez de diminuer progressivement la valeur de d...
Deux choses. Déjà, comme on voit que I augmente de façon exponentielle lorsque d se rapproche de 0 (c'est logique si les jours et les nuits sont de plus en plus courts, on en comptera plus en moins longtemps) on peut en déduire que si d tend vers 0, alors T/d tendra vers l'infini.
Ensuite, on peut aussi supposer que lorsque d se rapproche de 0, la lumière va clignoter si vite qu'il serait impossible de savoir si elle est allumée ou éteinte. Elle serait comme dans une sorte de fusion d'état, à la fois allumée et éteinte. Comme la lumière est à la fois allumée et éteinte, ça voudrait dire que T/d est à la fois pair et impair.
Ce-ci n'a pas vraiment de sens. Si un nombre n'est pas divisible par deux (il est impair) il ne peut pas être en même temps divisible par deux (pair). Cela mène donc à une contradiction et illustre parfaitement à la fois la raison pour laquelle on ne peut diviser par 0 mais aussi pourquoi diviser par un nombre qui tend vers 0 donne un nombre qui tend vers l'infini.